用T_k表示在单位圆E={z:∣z∣<1}内解析,形如f(z)=z-α_2z^2-α_3z^3-……-α_nz^n-……(α_n≥0,n≥2)的函数之全体。对于T_k的子类L_k(α,β,γ),将证明如果f∈L_k(α,β,γ),那么函数F_c(f)=(c+1)/z^c integral from 0 to Z t^(c-1)f(t)dt也属于L_k(α,β,γ)。
我们用S(α,β)表示在单位圆E={z∶|z+<1}内解析并且满足条件|[zf′(z)/f(z)-1]/[αzf′(z)/f(z)+1]|<β,0≤α≤1,0<β≤1,的函数之全体,在本文中,将证明如果函数f(z)属于S(α,β),那么F_c(f)=((C+1)/z^c) integral from n=0 to 1 t^(c-1)f(t)dt也属于S(α,β)。
对于Libera积分算子F(z)=(c+1)/z integral from 0 to z(t^(c-1)f(t)dt),当F(z)属于S~*、K时,即满足条件Re{_zF′(z)/F(z)}>0及Re{1+_zF″(z)/F′(z)}>0时,将给出函数f(z)=1/(c+1)[_zF′(z)+_cF(z)]的星像半径和凸半径的精确值,即对于0≤c≤1,当|z|<(2-(3+c^2)^(1/2))/(1-c)时,f(z)也将满足条件Re{_zf′(z)/f(z)}>0及Re{1+_zf″(z)/f′(z)}>0,z∈E={z:|z|<1},这里(2-(3+c^2)^(1/2))/(1-c)不能被换成更大的数。
